Question

如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。

1.求证：△ABE≌△CDF；

2.若AC与BD交于点O， 求证：AO=CO

Answer

1.证明：(1)∵AE⊥BD，CF⊥BD

∴∠AEB=∠CFD=90° ……………………1分

∵BF=DE

∴BF-EF=DE-EF  即BE=DF  ……………………2分

∵AB=CD

∴Rt△ABE≌Rt△CDF          ……………………3分

2.由(1)可知Rt△ABE≌Rt△CDF

∴∠ABE=∠CDF               ……………………4分

∴AB∥CD                    ……………………5分

∵AB=CD

∴四边形ABCD平行四边形，    ……………………6分

∴OA=OC                 ……………………7分

【解析】（1）由BF=DE，可得BE=CF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF；

（2）由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE=∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得AB∥CD，又由AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO=CO