Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒得速度从A点出发，沿AC向C移动，同时，动点Q以1米/秒得速度从C点出发，沿CB向B移动。当其中有一点到达终点时，他们都停止移动，设移动的时间为t秒。

1.求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数关系式；

2.在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值；

3.以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值。

Answer

在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米

由题意得：AP=2t，CQ=10-2t

1.过点Q作QE⊥PC于点E

易知Rt△QEC∽Rt△ABC，∴，QE=

∴S=……2分

2.当秒（此时PC=QC），秒（此时PQ=QC），或秒（此时PQ=PC）

△CPQ为等腰三角形；                         

3.过点P作PF⊥BC于点F，则有△PCF∽△ACB

∴，即

∴PF=，FC=                     

则在Rt△PFQ中，

当⊙P与⊙Q外切时，有PQ=PA+QC=3t，此时

整理得：，解得

故⊙P与⊙Q外切时，；                       

当⊙P与⊙Q内切时，有PQ=PA-QC=t，此时

整理得：，解得

故⊙P与⊙Q内切时        

【解析】

1.过点P，作PD⊥BC于D，利用30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得PD的长，然后利用三角形的面积公式即可求解；

2.分PC=QC和PC=QC两种情况进行讨论，求解；

3.PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，分为两圆外切和内切两种情况进行讨论．在直角△PFQ中利用勾股定理即可得到关于t的方程，从而求解．