Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且．

（1）求证：直线BF是⊙的切线；

（2）若AB=5，，求BC和BF的长．

Answer

（1）见解析（2），

【解析】（1）证明：连结AE．…………1分

∵  AB是⊙的直径，∴  , ∴ ．…………2分

∵  AB=AC，∴ ．

又∵ ，∴ ．

∴ ．即∠ABF = 90°．…………3分

∵  AB是⊙的直径，…………4分

∴ 直线BF是⊙O的切线．…………5分

（2）【解析】
过点C作CG⊥AB于点G．…………6分

∵ ，【过点C作CG⊥BF亦可类似求解】

，∴ ．…………7分

∵ ，AB=5，

∴  BE==.又∵  AB=AC，，

∴ ．

在Rt△ABE中，由勾股定理得 AE=．…………8分

∴ ，．

在Rt△CBG中，可求得 ，．

∴ AG=3．∵ GC∥BF，∴ △AGC∽△ABF．…………10分

∴ ．∴ ．…………12分

（1）连结AE，利用角的等量代换求得∠ABF = 90°，即可得出结论

（2）过点C作CG⊥AB于点G，利用三角函数求出BC 的长，通过△AGC∽△ABF，求出BF的长