Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A， AD与 BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AE． (1)求证：BF是⊙O的切线； (2)若AD＝4，，求BC的长．

Answer

(1)见解析(2)

【解析】（1）证明：连接BD，

∵AD⊥AB，即∠BAD=900

∴BD是直径

∵AB=AC则∠ABE=∠ADB

∵AE=AF，∠BAE=∠BAF，AB=AB

∴△BAE≌△BAF，

∴∠ABE=∠ABF，BE=BF，

∴∠ADB=∠ABF，∠AFB+∠ADB=∠AFB+∠ABF=900  

∴∠FBD=900

即BD⊥BF，

∴BF是⊙O的切线

（2）∵在Rt△BAD中，AD＝4，

∴AB=3，BD=5，

∴BF=BE=，AE=，DE=

∵∠DCE=∠BAE，∠DEC=∠BEA

∴△DEC∽△BEA

∴,解得CE=

∴BC=BE+CE=

（1）连接BD，因AD⊥AB，所以BD是直径．证明BF⊥DB即可．

（2）作AG⊥BC于点G．由（1）中结论∠D=∠2=∠3，分别把这三个角转化到直角三角形中，根据，求相关线段的长