Question

如图，已知抛物线ｙ＝ｘ－ａｘ＋ａ－4ａ－4与ｘ轴相交于点A和点B，与ｙ轴相交于点D（0，8），直线DC平行于ｘ轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ、CB，设点P运动的时间为t秒．

（１）求ａ的值；（２）当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；（３）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．（４）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？（直接写出答案）

Answer

（１）8（２）（３）（４）

【解析】【解析】
（１）∵抛物线ｙ＝ｘ－ａｘ＋ａ－4ａ－4经过点（0，8）

∴ａ－4ａ－4＝8

解得：ａ＝6，ａ＝－2（不合题意，舍去）

∴ａ的值为6

（２）由（１）可得抛物线的解析式为

ｙ＝ｘ－6ｘ＋8

当ｙ＝0时，ｘ－6ｘ＋8＝0

解得：ｘ＝2，ｘ＝4

∴A点坐标为（2，0），B点坐标为（4，0）

当ｙ＝8时，

ｘ＝0或ｘ＝6

∴D点的坐标为（0，8），C点坐标为（6，8）

DP＝6－2t，OQ＝2＋ｔ

当四边形OQPD为矩形时，DP＝OQ

2＋t＝6－2t，t＝，OQ＝2＋＝

S＝8×＝

即矩形OQPD的面积为

（３）四边形PQBC的面积为，当此四边形的面积为14时，

（2－t＋2t）×8＝14

解得t＝（秒）

当t＝时，四边形PQBC的面积为14

（４）过点P作PE⊥AB于E，连接PB，

当QE=BE时，△PBQ是等腰三角形，

∵CP=2t，

∴DP=6-2t，

∴BE=OB-PD=4-（6-2t）=2t-2，

∵OQ=2+t，

∴QE=PD-OQ=6-2t-（2+t）=4-3t，

∴4-3t=2t-2，

解得：t=  ，

∴当t=  时，△PBQ是等腰三角形

t＝时，PBQ是等腰三角形．

（1）把点D（0，8）代入抛物线y=x2-ax+a2-4a-4解方程即可解答；

（2）利用（1）中求得的抛物线，求得点A、B、C、D四点坐标，再利用矩形的判定与性质解得即可；

（3）利用梯形的面积计算方法解决问题；

（4）只考虑PQ=PB，其他不符合实际情况，即可找到问题的答案