Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P´（点P´不在y轴上），连接PP´，P´A，P´C．设点P的横坐标为a．

 

（1）当b=3时，

①求直线AB的解析式；

②若点P′的坐标是（﹣1，m），求m的值；

（2）若点P在第一象限，记直线AB与P´C的交点为D．当P´D：DC=1：3时，求a的值；

（3）是否同时存在a，b，使△P´CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）①y=x+3②（2）（3）或

【解析】【解析】
（1）①设直线AB的解析式为y=kx+3，

把x=﹣4，y=0代入得：﹣4k+3=0，

∴k=，

∴直线的解析式是：y=x+3， ……3分 

②由已知得点P的坐标是（1，m），

∴m=×1+3=；  ……4分 

（2）∵PP′∥AC，

△PP′D∽△ACD，

∴=，即=，

∴a=；   ……6分 

（3）以下分三种情况讨论．

①当点P在第一象限时，

1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1）

过点P′作P′H⊥x轴于点H．

∴PP′=CH=AH=P′H=AC．

∴2a=（a+4）

∴a=

∵P′H=PC=AC，△ACP∽△AOB 

∴==，即=，

∴b=2                   ……8分 

2）若∠P′AC=90°，P′A=CA  （如图2）

则PP′=AC

∴2a=a+4

∴a=4

∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB

∴==1，即=1

∴b=4          ……10分 

3）若∠P′CA=90°，

则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾．

∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．

②当点P在第二象限时，∠P′CA为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形；

③当P在第三象限时，∠P′CA为钝角（如图4），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形．

∴所有满足条件的a，b的值为

或      ……12分 

（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）把（-1，m）代入函数解析式即可求得m的值；可以证明△PP′D∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；

（3）点P在第一像限，若使△P'CA为等腰直角三角则∠AP′C=90°或∠P′AC=90°或∠P′CA=90°就三种情况分别讨论求出出所有满足要求的a的值即可．