Question

已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD。

1.如图1，以AB为边在△ABC外作等腰△ABE，其中AB=AE，，试证明BD=CE；

2.如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4，求BD的长；

3.如图3，若∠ACB为锐角，作AH⊥BC于H，当BD²=4AH²+BC²时，问∠DAC与∠ABC有怎样的关系，直接写出结论（不需要证明）。

Answer

1.∵∠BAE=∠CAD

∴∠CAE=∠BAD

∵AE=AB,AC=AD,

∴△ACE≌△ABD

∴BD=CE…….………………………………………………………………5分

2.如图2，以A为顶点AB为边在外作=60°，并在AE上取AE=AB，连结BE和CE.                  ……………………………………7分

∵是等边三角形,

∴AD=AC，=60°.

∵=60°,

∴+=+.

即=.

∴≌.   ………………8分                                                                                

∴EC=BD.

∵=60°，AE=AB=3,

∴是等边三角形，

∴=60°, EB= 3， …………………9分

∵,

∴.

∵，EB=3，BC=4,

∴EC=5.

∴BD=5.               ……………………10分

3.=2.       ……………………12分                               

   附：证明：

如图３，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连结EA，EC. 并取BE的中点K，连结AK.

   ∵于H，   ∴.   ∵BE∥AH,   ∴.

   ∵，BE=2AH,   ∴.

   ∵,   ∴EC=BD.

   ∵K为BE的中点，BE=2AH,   ∴BK=AH.

   ∵BK∥AH，   ∴四边形AKBH为平行四边形.

 又∵,   ∴四边形AKBH为矩形.   ∴.

   ∴AK是BE的垂直平分线.   ∴AB=AE.

   ∵AB=AE，EC=BD，AC=AD,   ∴≌.                       

   ∴.   ∴.

   即.   ∵，为锐角,   ∴.

   ∵AB=AE,   ∴.   ∴.   ∴=2.

   ∴=2  

【解析】（1）由AC=AD得∠D=∠ACD，由平行四边形的性质得∠D=∠ABC，在△ACD中，由内角和定理求解；

（2）如图2，在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，BE=AB=3，在Rt△BCE中，由勾股定理求CE，由三角形全等得BD=CE；

（3）∠DAC=2∠ABC成立，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK，仿照（2）利用旋转法证明△EAC≌△BAD，利用内角和定理证明结论．