Question

如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕CE＝5，且．

1.判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由；

2.求直线CE与x轴交点P的坐标；

3. 是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．

Answer

1.与相似．----------------------------------------------- 1分

理由如下：

由折叠知，，

，

又，

．   3分

2.，设，则．由勾股定理得．

．--------------- 4分

由（1），得，

，

．------------------------------------------------ 5分

在中，，

，解得．

，点的坐标为，

点的坐标为，----------------------------------------- 6分

设直线的解析式为，

解得

，则点的坐标为．  8分

3.满足条件的直线有2条：，．--------------------- 12分

下图中的直线DB与直线DM即为所求．

注：第⑶题如何严密思考？靠碰运气找到两条直线，显然不具有一般性，也不能从严格意义上说明是否还存在其他符合要求的直线．下面的思考方法是非常精彩的：

    首先说明一个简单事实：三条直线两两相交，不经过同一点，则三条直线能够围成三角形．当平行移动其中一条直线时（移动后的直线不经过另两条直线的交点），不改变围成三角形的形状（即始终相似）．

    基于上述事实，将y轴平移至点D，交直线CE于点Q，直线CE即直线PQ，则原问题转化为：

    如下图，△DQP中，∠D＝90°．经过点D的直线l，斜边所在的直线，与两直角边分别构成的两个三角形相似，这样的直线l有几条？

    显然，当直线l经过△DQP内部时，只有一条；当直线在△DQP外部时，也只有一条．

【解析】⑴根据相似三角形的判定进行解答

⑵先求出点C,E的坐标，再求出直线的解析式，从而求得点的坐标

⑶根据相似三角形的判定进行解答