Question

如图，在正方形ABCD中，AB＝1，AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一条弧，点E是边AD上的任意一点（点E与A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点

1.当∠DEF＝时，试说明点G为线段EF的中点；

2.设AE＝，FC＝，用含有的代数式来表示，并写出的取值范围

3.如果把△DEF沿直线EF对折后得△，如图2，当 时，讨论△与△是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要写出结论，不要求写出理由．

Answer

1.∵∠DEF=45°，

∴∠DFE=90°-∠DEF=45°．

∴∠DFE=∠DEF．

∴DE=DF．

又∵AD=DC，

∴AE=FC．

∵AB是圆B的半径，AD⊥AB，

∴AD切圆B于点A．

同理：CD切圆B于点C．

又∵EF切圆B于点G，

∴AE=EG，FC=FG．

∴EG=FG，即G为线段EF的中点．

2.根据（1）中的线段之间的关系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1-y，

根据勾股定理，得：

（x+y）2=（1-x）2+（1-y）2

∴y= （0＜x＜1）．

3.当EF= 时，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，

即x+ = ，

解得x1= 或x2= ．

①当AE= 时，△AD1D∽△ED1F，

证明：设直线EF交线段DD1于点H，由题意，得：

△EDF≌△ED1F，EF⊥DD1且DH=D1H．

∵AE= ，AD=1，

∴AE=ED．

∴EH∥AD1，∠AD1D=∠EHD=90°．

又∵∠ED1F=∠EDF=90°，

∴∠ED1F=∠AD1D．

∴△ED1F∽△AD1D．

②当AE= 时，△ED1F与△AD1D不相似．

【解析】此题综合运用了切线长定理、相似三角形的判定和性质；能够发现正方形，根据正方形的性质进行分析证明