Question

如图，已知一次函数的图象与轴交于点A，与二次函数的图象交于轴上的一点B，二次函数的图象与轴只有唯一的交点C，且OC=2．

1.求二次函数的解析式；

2.设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求：点P的坐标．

Answer

1.∵交轴于点A，与交于轴上的点B

∴B（0，2）  A（-4，0）

∵二次函数的图象与轴只有唯一的交点C，且OC=2

∴可设二次函数把B（0，2）代人得：

∴二次函数的解析式：              ……………3分

2.当B为直角顶点时，过B作BP⊥AD交轴于P点

由Rt△AOB∽Rt△BO P得：O P=1    ∴P（1，0）  ……………5分

同理，当D为直角顶点时，P2点坐标为（7.25，0）   ……………8分 

当P为直角顶点时，过点D作DE⊥轴于点E，设P3（,）

则由Rt△OB P3∽Rt△EP3D得：  

 ∴ 

∵方程无解  ∴点P3不存在                ……………11分

∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）……………12分   

【解析】（1）OC=2，即该抛物线的坐标轴为，并且该图像与横轴只有一个交点，故可设解析式为；

（2）考虑三个顶点分别为直角顶点时的情况，利用相似三角形求解。