Question

已知：正方形ABCD的边长为2，⊙O交正方形ABCD的对角线AC所在直线于点T，连结TO交⊙O于点S，连结AS．

1.如图1，当⊙O经过A、D两点且圆心O在正方形ABCD内部时，连结DT、DS．

①试判断线段DT、DS的数量关系和位置关系；    ②求AS＋AT的值；

2.如图2，当⊙O经过A、D两点且圆心O在正方形ABCD外部时，连结DT、DS．求AS－AT的值；

3.如图3，延长DA到点E，使AE=AD，当⊙O经过A、E两点时，连结ET、ES．

根据（1）、（2）计算，通过观察、分析，对线段AS、AT的数量关系提出问题并解答．

Answer

1.①线段DT、DS的数量和位置关系分别是DT=DS和DT⊥DS…2分

                                       ………3分

②证△DAS≌△DCT                                 ……4分

∴AS＋AT=                              …………5分

2.证△DAS≌△DCT                               …………6分

∴AS－AT=                               …………8分

3.提出的问题是：求 AT－AS 的值.                  …………10分

在TA上取TF=AS，连结EF，证△EAS≌△EFT       …………11分

     ∴ AT－AS =                                  …………12分

【解析】（1）因为ST是直径，所以°,AC是正方形的对角线，所以也是角平分线，从而三角形SDT是等腰直角三角形；由△DAS≌△DCT，可知AS=CT，这样就把AS＋AT转化为CT+AT，易得CT+AT=；

 （2）（3）小题都是以（1）题为基础，解题思路相同