Question

如图，在菱形ABCD中，AB=BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S_{四边形BCDG}=CG²；③若AF=2DF，则BG=6GF．

其中正确的结论（　　）

  　A．①② 　　 　　  B．①③   　　　 C．②③ 　　　  D．①②③

Answer

D

【解析】①∵ABCD为菱形，∴AB=AD．

∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形．∴∠A=∠BDF=60°．

又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB；

②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，

∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．∴∠BGC=∠DGC=60°．

过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．则△CBM≌△CDN，（HL）∴S四边形BCDG=S四边形CMGN．

S四边形CMGN=2S△CMG，∵∠CGM=60°，∴GM=CG，CM=CG，

∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2．

③过点F作FP∥AE于P点．∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，则 FP：BE=1：6=FG：BG，

即 BG=6GF．故选D．