Question

已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB²=AE·AC，BD=8，

1.判断△ABD的形状并说明理由；

2.求△ABD的面积

Answer

1.△ABD是等腰三角形

如图，连接OA、OB，交DB于F；

∵AB2=AE•AC，即；

又∵∠BAE=∠CAB，

∴△ABE∽△ACB；

∴∠DBA=∠BCA；

而∠BCA=∠BDA，∴∠DBA=∠BDA；

∴AB=AD，

∴△ABD是等腰三角形。（4分）

2.∵AB=AD，

∴OA⊥BD，且F为BD的中点；

∴BF=4；

在Rt△BOF中，OB2=BF2+OF2，∴OF=3；

而OA=5，∴AF=2；

∴S△ABD=BD×AF=8．（10分）

【解析】求△ABD的面积，已知了底边BD的长，因此只需求出BD边上的高即可．连接OA、OB，交DB于F；已知AB2=AE•AC，易证得△ABE∽△ACB；可得∠BCA=∠DBA，即弧AD=弧AB，根据垂径定理，可知OA垂直平分BD；易求得OF=3，则AF=2，由此可求得△ABD的面积．