Question

等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．

1.如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE～△CFP；

2.操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．

探究１：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）(2分)

探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；

Answer

1.见解析。

2.见解析。

【解析】（1）证明：在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°∴∠BPE+∠BEP=150°

∵∠EPF=30°，又因为 ∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°

∴∠BPE+∠CPF=150°     ∴∠BEP=∠CPF    ∴△BPE∽△CFP

（2）①△BPE∽△CFP  

②△BPE与△PFE相似。

证明: 同（1）可证△BPE∽△CFP得EP/BP=PF/FC，而CP=BP

因此EP/CP=PF/FC，又∵∠EBP=∠EPF，∴△BPE∽△PFE