Question

如图，在ABCD中，平分交于点，平分交于点。

1.求证：

2.若，则判断四边形是什么特殊四边形，请证明你的结论.

Answer

1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，AB=CD，∠ABC=∠ADC，

∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，

∴∠ABE=∠CDF（3分），

∴△ABE≌△CDF（ASA）；（5分）

2.【解析】
若BD⊥EF，则四边形EBFD是菱形．

证明：由△ABE≌△CDF，得AE=CF（7分），

在平行四边形ABCD中，AD平行BC，AD=BC，

∴DE∥BF，DE=BF，

∴四边形EBFD是平行四边形（9分），

∴若BD⊥EF，则四边形EBFD是菱形．（10分）

【解析】（1）由平行四边形ABCD可得出的条件有：①AB=CD，②∠A=∠C，③∠ABC=∠CDA；已知BE、CD分别是等角∠ABD、∠CDA的平分线，易证得∠ABE=∠CDF④；联立①②④，即可由ASA判定所求的三角形全等；

（2）由（1）的全等三角形，易证得DE=BF，那么DE和BF平行且相等，由此可判定四边形BEDF是平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可得出EBFD的形状．