Question

已知一次函数y₁ = 2x和二次函数y₂ = x² + 1。

1.求证：函数y₁、y₂的图像都经过同一个定点；

2.求证：在实数范围内，对于任意同一个x的值，这两个函数所对应的函数值y₁ ≤ y₂ 总成立；

3.是否存在抛物线y₃ = ax² + bx + c，其图象经过点(5，2)，且在实数范围内，对于同一个x的值，这三个函数所对应的函数值y₁ ≤ y₃ ≤ y₂总成立？若存在，求出y₃的解析式；若不存在，说明理由。

Answer

1.如果经过同一点，那么y1=y2，即2x= x2 + 1

            x=1

          把x=1代入到一次函数中得  y=2

       ∴函数y1、y2的图像都经过同一个定点（1，2）（3分）

2.∵y2- y1= x2 + 1-2x= （x-1）2≥0

∴在实数范围内，对于任意同一个x的值，这两个函数所对应的函数值y1 ≤ y2 总成立；（3分）

3.存在

∵三个函数所对应的函数值y1 ≤ y3 ≤ y2总成立

∴抛物线y3 = ax2 + bx + c也必经（1，2）

把（1，2）和（-5，2）代入抛物线y3 = ax2 + bx + c中解得：

（4分）

【解析】（1）利用y1=y2，求出定点的坐标从而得证；

（2）求出y2- y1关于x的方程进行变形讨论出结论；

（3）要符合y1 ≤ y3 ≤ y2条件，就必然得出抛物线y3 = ax2 + bx + c也必经（1，2），然后把（1，2）和（-5，2）代入就得出解析式。