Question

如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子.动点P、Q同时从点A出发，点P沿A→B→C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A→D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止.P、Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm².

1.当0≤x≤1时，求y与x之间的函数关系式；

2.当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值

3.当1≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ的变化范围；

4.当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象.

Answer

1.当0≤x≤1时，y= (2分)

2.如图,连结BD,

  ∵ ∠PDO=∠QBO=45°,∠POD=∠BOQ, OB=OD,

  ∴ △PDO≌△BQO

  ∴ PD=BQ

  即:2x-2=2-x    x=

∴当橡皮筋刚好触及钉子时，x= （5分）

3.当1≤x≤时(如图),

  y = (2x－2+x)×2 =3x－2

当< x≤2时(如图),连结OC、OB.

y =4－1－(4－2x)×1－(2－x)×1

=

橡皮筋从触及钉子到运动停止时90°≤∠POQ≤180°或180°≤∠POQ≤270°(答对一个即可). （10分）

4.所画图形如图所示.(12分)

【解析】（1）当0≤x≤1时，AP=2x，AQ=x，则y=AQ•AP=x2．

（2）根据题意，橡皮筋刚好触及钉子时，橡皮筋扫过的面积正好是正方形的一半由此的求出x的值．

（3）要分两种情况进行讨论，一是橡皮筋刚触及钉子时及其以前，二是触及钉子，橡皮筋弯曲后两种情况．第一种情况，按梯形的面积进行计算．第二种情况要从中间分成两个梯形，然后按两个梯形的面积进行计算．

（4）根据（1）（2）（3）中得出的不同x的取值下的y的函数式画图即可．