Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠B＝45°，AB=4， BC=3，F是DC上一点，且CF=， E,是线段AB上一动点，将射线EF绕点E顺时针旋转45°交BC边于点G.

1.直接写出线段AD和CD的长；

2.设AE=x，当x为何值时△BEG是等腰三角形；

3.当△BEG是等腰三角形时，将△BEG沿EG折叠，得到△B’EG，求△B’EG与五边形AEGCD重叠部分的面积．

Answer

1.AD＝，CD＝

2.当△BEG为等腰三角形时，有三种情况

①当GE＝GB时，∠GEB＝∠B＝45°

∵∠FEG＝45°

∴∠FEB＝∠FEG＋∠BEG＝45°＋45°＝90°

∴∠AEF＝90°，

∵∠A＝∠D＝90°

易证四边形AEFD为矩形

∴AE＝DF＝CD－CF＝－＝…………………………4分

②当BE＝BG时，连结AF

当BE＝BG时，则AE＝AF＝3……………………………………………………6分

③当EG＝EB时

∴∠EGB＝∠B＝45°

∴∠GEB＝90°

∵∠FEG＝45°

∴∠FEB＝90°＋45°＝135°

∴∠FEB＋∠B＝180°

∴FE∥BC

∵CF∥BE

∴四边形CBEF是平行四边形

3.

易求得GH＝BG＝（4－3）＝4－

【解析】(1)利用勾股定理求出AD和CD长；

（2）分三种情况：GE=GB,BE=BG,EG=EB进行讨论；

（3）与（2）一样分三种情况进行讨论.