Question

推理证明：如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D过D作DE⊥BC，垂足为E，连结OE，CD=，∠ACB=30°.

     （1）求证：DE是⊙O的切线；

     （2）分别求AB，OE的长；

      （3）填空：如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，则r的取值范围为         .

Answer

（1）见解析（2）2，（3）

【解析】（1）证明：连接BD

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°

又∵AB=BC，

∴AD=CD，

∴OD∥BC

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线．（4分）

（2）【解析】
在Rt△CBD中CD=  ，∠ACB=30°，

∴BC=CD8 cos30° = =2，

∴AB=2．

在Rt△CDE中，CD= ，∠ACB=30°，

∴DE= CD=× =  ．

在Rt△ODE中，OE==

（3）………9分

（1）根据AB是直径即可求得∠ADB，再根据题意可求出OD⊥DE，即得出结论；

（2）根据三角函数的定义，即可求得AB，再在Rt△CDE中，根据直角三角形的性质，可求得DE，再由勾股定理求出OE即可

（3）根据两圆的位置关系解答