Question

如图所示，已知平面直角坐标系xOy，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)

1.求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

2.记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.

Answer

1.y=-，

      对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）

2.m、n的值分别为 5，-5

【解析】（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，得：

           4b+c-16=0  ，   b+c-1=3 ，解得：     b=4 ， c=0。

      所以抛物线的表达式为：。

      y=-，

      所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）。

（2） 由题可知，E、F点坐标分别为（4-m，n），（m-4，n）。

      三角形POF的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，

      三角形AOP的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，

      四边形OAPF的面积= 三角形POF的面积+三角形AOP的面积=20，

      所以 4|n|=20，  n=-5。（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0）

      又n=-+4m，

      所以-4m-5=0，m=5。（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0)

          故所求m、n的值分别为 5，-5。