Question

已知：如图，M是线段BC的中点，BC=4，分别以MB、MC为边在线段BC的同侧作等边△BAM、等边△MCD，连接AD

1.求证：四边形ABCD是等腰梯形

2.将△MDC绕点M逆时针方向旋转α(60º<α<120º)，得到△MD´C´，MD´交AB于点E，MC´交AD于点F，连接EF．

①求证：EF∥D´C´；

②△AEF的周长是否存在最小值?如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值.

Answer

1.见解析

2.存在最小值。当ME最小时，即ME⊥AB2+

【解析】(1) 等边△BAM、等边△MCD

              ∴AB=AM=BM,CD=CM=DM,∠ABM=∠AMB=60º, ∠DCM=∠DMC=60º

                M是线段BC的中点

                ∴MB=MC

                ∴AM=DM, ∠AMD=60º

               ∴ ∠DAM=60º

               ∴AD∥BC

                 ∠B= ∠C

              ∴ 四边形ABCD是等腰梯形

          (2) ①∠EMA=α-60º, ∠FMD=α-60º

               ∴∠EMA=∠FMD

              ∠BAM=∠ADM,AM=DM

             ∴△AEM≌△DMF

               ∴ME=MF

               MD´= MC´

               ∴EF∥D´C´

           ②存在最小值。当ME最小时，即ME⊥AB，周长=1+1+=2+