Question

如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC.

1.求证：AD是半圆O的切线；

2.若BC=2，CE=，求AD的长.

Answer

1.见解析。

2.

【解析】（1）证明：∵AB为半圆O的直径，∴∠BCA=90°．

又∵BC∥OD，∴OE⊥AC．

∴∠D+∠DAE=90°．

∵∠D=∠BAC，

∴∠BAC+∠DAE=90°．

∴OA⊥OD

∴AD是半圆O的切线．             

（2）【解析】
∵BC∥OD，∴△AOE∽△ABC，

∴，

又∵BA=2AO，CE=，∴AC=2CE=2．

在Rt△ABC中， AB=，

∵∠D=∠BAC，∠ACB=∠DAO=90°，

∴△DOA∽△ABC．

∴ 即．

∴AD=．