Question

已知抛物线．

1.试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

2.如图，当抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x﹣1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．

①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？（直接写出平移的方法，不要说明理由）

Answer

1.该抛物线与x轴总有两个不同的交点

2.点P坐标为（5，0）;平行四边形

【解析】【解析】
⑴ 该函数的判别式=m2﹣4m+7=（m﹣2）2+3>0

∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点； ……………………………………3分

⑵ 由直线y=x﹣1与抛物线交于A、B两点，∴点A（1，0）代入二次函数式则m=3

∴二次函数式为：              ……………………………………4分

当抛物线的对称轴为直线x=3时，则y=﹣2，

即顶点C为（3，﹣2），……………………………………5分

把x=3代入直线y=x﹣1则y=2，

即点D（3，2）         ……………………………………6分

设点P（x，），如右图所示：

由题意知： PH=CH，（或PH=DH）

则

解得：x=3或x=5       ……………………………………8分

则点P（3，2）（与点D重合舍去）或（5，0）

经检验点（5，0）符合，

所以点P坐标为（5，0）；……………………………………9分

(注：其它方法酌情给分)

②把直线CD向右平移1+个单位或2个单位，向左平移﹣1个单位，能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．