Question

如图，在平面直角坐标系中，A、C、D的坐标分别是（1，2）、（4，0）、（3，2），点M是AD的中点．

1.求证：四边形AOCD是等腰梯形；

2.动点P、Q分别在线段OC和MC上运动，且保持∠MPQ=60°不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；

3.在（2）中：试探究当点P从点O首次运动到点E（3，0）时，Q点运动的路径长．

Answer

1.见解析

2.

3.当P点从O点运动到点E(3，0)时，Q点运动的路径长为个单位

【解析】(1)∵ yA=yB=  ∴ AD//OC，

又线段AD、OC有共同对称轴直线x=2，

∴OA=CD且AD≠OC

∴ 梯形AOCD是等腰梯形 …………………………… 4分

(2)易证△OMC是等边三角形 所以OM=OC=MC=4

   ∠MDC=∠QCP=60°   又∠MPQ=60°

∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°

∴∠2=∠3   所以△OMP∽△CPQ 

∴ 

化为  …………………………… 8分

(3)∵0≤x≤4

∴ x=2时，ymin=3  即MQ=3

    x=0时， y=4   即MQ=4

    x=3时， y=  即MQ=

当0≤x≤2时，Q点运动路径长为4-3=1

当2