Question

如图，面积为39的直角梯形OABC的直角顶点C在轴上，点C坐标为，AB=，点D是AB边上的一点，且AD：BD=2︰3．有一45°的角的顶点E在轴上运动，角的一边过点D，角的另一边与直线OA交于点F(点D、E、F按顺时针排列),连结DF.设CE=，OF=.

（1）求点D的坐标及的度数；

（2）若点E在轴正半轴上运动，求与的函数关系式；

（3）在点E的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△DEF成为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）  （2）(3) 存在，理由见解析

【解析】（1）  （1个对2分；2个对3分）     …………………3分

（2）当E在OC上时，如图，

 可得∽       ……………………………4分

∴  即…………5分

∴   ……………………6分

当E在C的右侧上时，如图，

可得∽

∴  即  ∴     ……………………7分

(3)当E在OC上时，如图，

若EM=ED，则≌

∴

∴作于点N

∴

若DM=DE，则,如图

作，则≌

∴

∴,

若MD=ME，则,如图

过M作于点N交直线AB于点H，可得≌

设ON=，则MN=, MH=,DH=

由MN=DH得：=，    ∴

当E在C的右侧时，如图，

,,

∴不可能是等腰三角形

当E在O的左侧时，如图，

∴ 只能EM=ED，此时≌

∴

∴∴

综合得：，，

，     …………………………12分

（第一个正确答案得2分，以后每对一个得1分）

（1）根据直角梯形的面积求得B点坐标，通过AD：BD=2︰3，求得点D的坐标，过A作OC的垂线，垂足为G,可求得AG=OG,从而得出的度数

（2）分两种情况讨论，当E在OC上时，当E在C的右侧上时，通过相似三角形可求得与的函数关系式

(3)当E在OC上时，由三种可能：EM=ED、DM=DE、MD=ME；当E在C的右侧时，不可能是等腰三角形，当E在O的左侧时，只能EM=ED时，使得△DEF成为等腰三角形