Question

如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.

1.求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；

2.连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；

3.如图（2），设抛物线y=a(x－m－6)²+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，

若∠OAM=90°，求a、h、m的值.

               （1）                             （2）

Answer

1.E(m+10,3),F（m+6,0）

2.m=6或4或

3.m=12

【解析】

1.【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°.

由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.

在Rt△ABF中，BF=.

∴FC=4.

设DE=x,在Rt△ECF中，42+（8-x）2=x2，解得x=5.

∴CE=8-x=3.

∵B（m，0）,∴E(m+10,3),F（m+6,0）.

2.分三种情形讨论：

若AO=AF，∵AB⊥OF，∴OB=BF=6.∴m=6.

若OF=AF，则m+6=10，解得m=4.  

若AO=OF，在Rt△AOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64，

∴（m+6）2= m2+64，解得m=.   

综合得m=6或4或

3.由（1）知A(m,8)，E(m+10,3).

依题意，得， 解得   ………………………（8分）

∴M（m+6，﹣1）.

设对称轴交AD于G.

∴G（m+6,8），∴AG=6，GM=8－（﹣1）=9.

∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，

∴∠OAB=∠MAG.

又∵∠ABO=∠MGA=90°，

∴△AOB∽△AMG.   ∴，即.∴m=12.