Question

如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论 ①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正确的结论有                           （  ▲ ）

A．①④⑤     B．①②④      C．③④⑤       D．②③④     

Answer

A

【解析】因为在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，所以∠GAD=45°，∠ADG=∠ADO=22.5°

因为tan∠AED= ，因为AE=EF＜BE，

所以AE＜ AB，所以tan∠AED= ＞2，因此②错

因为AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，

所以S△AGD＞S△OGD，所以③错

根据题意可得：AE=EF，AG=FG，又因为EF∥AC，

所以∠FEG=∠AGE，又因为∠AEG=∠FEG，

所以∠AEG=∠AGE，所以AE=AG=EF=FG，

所以四边形AEFG是菱形，因此④正确

由折叠的性质设BF=EF=AE=1，则AB=1+ ，BD=2+ ，DF=1+ ，

由此可求，

因为EF∥AC，

所以△DOG∽△DFE，

所以，

∴EF=  OG，

在直角三角形BEF中，∠EBF=45°，

所以△BEF是等腰直角三角形，同理可证△OFG是等腰直角三角形，

在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中，BE2=2EF2=2GF2=2×2OG2，

所以BE=2OG．因此⑤正确．