Question

已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F.

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；

（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】（1）证明：连接OE，则OB=OE．………………1分

∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠C=60°.

∴△OBE是等边三角形.

∴∠OEB=∠C =60°.  ∴OE∥AC．

∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°．

∴∠OEF=∠EFC=90°．

∴EF是⊙O的切线．……………………4分

（2）连接DF, 

∵DF是⊙O的切线，   ∴∠ADF=90°．

设⊙O的半径为r，则BE=r，EC=，AD=．

在Rt△ADF中，∵∠A=60°，    ∴AF=2AD=．

∴FC=．

在Rt△CEF中  ∵∠C=60°， ∴EC=2FC  

 ∴=2（）．

解得．∴⊙O的半径是．…………………………8分

注：其他解法对应给分。

（1）连接OE，利用等边三角形的性质求出OE∥AC，从而求得∠OEF=90°，得出结论

（2）连接DF，利用切线的性质直角三角形的性质求⊙O的半径