Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝x ²－x－10与x轴的交点为A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连结AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t(单位：秒)

（1）求A，C两点的坐标和抛物线的顶点M坐标；

（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；

（3）当0<t<4.5时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；

（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．

Answer

（1）A(18，0) C(8，－10) M (4，－)，（2），理由见解析（3）是定值，理由见解析（4）t＝－2，理由见解析

【解析】（1）在y＝x 2－x－10中，令y＝0，得x 2－8x－180＝0．

解得x＝－10或x＝18，∴A(18，0)． …………………………1分

在y＝x 2－x－10中，令x＝0，得y＝－10．

∴B(0，－10)．

∵BC∥x轴，∴点C的纵坐标为－10．

由－10＝x 2－x－10得x＝0或x＝8．

∴C(8，－10)． ……………………………………………………2分

∵y＝x 2－x－10＝(x－4)2－

∴抛物线的顶点坐标为(4，－)．………………………………3分

（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可．

∵QC＝t，PA＝18－4t，∴t＝18－4t．

解得t＝．…………………………………………………………5分

（3）设点P运动了t秒，则OP＝4t，QC＝t，且0＜t＜4.5，说明点P在线段OA上，且不与点O，A重合．

∵QC∥OP，     ∴＝＝＝＝．

同理QC∥AF，∴＝＝＝，即＝．

∴AF＝4t＝OP．

∴PF＝PA＋AF＝PA＋OP＝18．

∴S△PQF ＝PF·OB＝×18×10＝90

∴△PQF的面积总为定值90． …………………………………………7分

（4）设点P运动了t秒，则P(4t，0)，F(18＋4t，0)，Q(8－t，－10)  t在（0，4.5）．

∴PQ 2＝(4t－8＋t)2＋10 2＝(5t－8)2＋100

FQ 2＝(18＋4t－8＋t)2＋10 2＝(5t＋10)2＋100．

PF 2=324

①若FP＝FQ，则18 2＝(5t＋10)2＋100．

即25(t＋2)2＝224，(t＋2)2＝．

∵0≤t≤4.5，∴2≤t＋2≤6.5，∴t＋2＝＝．

∴t＝－2．

②若QP＝QF，则(5t－8)2＋100＝(5t＋10)2＋100．

即(5t－8)2＝(5t＋10)2，无0≤t≤4.5的t满足．

③若PQ＝PF，则(5t－8)2＋100＝18 2．

即(5t－8)2＝224，由于≈15，又0≤5t≤22.5，

∴－8≤5t－8≤14.5，而14.5 2＝()2＝＜224．

故无0≤t≤4.5的t满足此方程．

注：也可解出t＝＜0或t＝＞4.5均不合题意，

故无0≤t≤4.5的t满足此方程．

综上所述，当t＝－2时，△PQF为等腰三角形………………………………10分

（1）在y＝x 2－x－10中，令y=0可求A，令x=0，可求B；由BC∥x轴，可得点C的纵坐标为-10．由-10=x 2－x－10可求C，由y=x 2－x－10=

可求抛物线的顶点坐标

（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可求解．

（3）设点P运动了t秒，则OP=4t，QC=t，且0＜t＜4.5，说明点P在线段OA上，且不与点O，A重合．由QC∥OP，可得＝＝＝＝．同理QC∥AF，∴＝＝＝，即＝．代入三角形的面积公式S△PQF=PF•OB

（4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．从而有PQ2=（4t-8+t）2+102=（5t-8）2+100，FQ2=（18+4t-8+t）2+102=（5t+10）2+100．分①若FP=FQ②若QP=QF，③若PQ=PF分别进行求解