Question

在图形的全等变换中，有旋转变换，翻折（轴对称）变换和平移变换．一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．

（1）第一小组的同学发现，在如图1－1的矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，Rt△ADC可以由Rt△ABC经过一种变换得到，请你写出这种变换的过程  ▲  ．

（2）第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图2－1）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B'处（如图2－2），这样能得到∠B'GC的大小，你知道∠B'GC的大小是多少吗？请写出求解过程．

（3）第三小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3－1的方式剪下△ABC，其中BA＝BC，将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如图3－2．已知AH＝AI，判断以AD、AF和AH为三边能否构成三角形？若能构成，请判断这个三角形的形状，若不能构成，请说明理由．

（4）探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题:如图4－1，已知AA'＝BB'＝CC'＝4，∠AOB'＝∠BOC'＝∠COA'＝60°，请利用图形变换探究S_△AOB'＋S_△BOC'＋S_△COA'与的大小关系．

Answer

（1）将△ABC绕点O旋转180°（2）60°，理由见解析（3）能够构成三角形，理由见解析（4）S△AOB'＋S△B'PR＋S△PQA＜

【解析】【解析】
（1）将△ABC绕点O旋转180°后可得到△ADC …………………………2分

（缺旋转中心或旋转角各扣1分）

（2）连接BB'，由题意得EF垂直平分BC，故BB'＝B'C，由翻折可得，

B'C＝BC，∴△BB'C为等边三角形．∴∠B'CB＝60°，

（或由三角函数FC：B'C＝1：2求出∠B'CB＝60°也可以．）

∴∠B'CG＝30°，∴∠B'GC＝60°………………………………………5分

（3）能够构成三角形……………………………………………………………6分

分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R，连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，∵△ABC中，BA＝BC，根据平移变换的性质，△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，∴DP⊥CE，FQ⊥EG，HR⊥GI．

在Rt△AHR中，AH＝AI＝4a，AH2＝HR2＋AR2，HR2＝a2，

则DP2＝FQ2＝HR2＝a2，

AD2＝AP2＋DP2＝6a2，AF2＝AQ2＋FQ2＝10a2，

新三角形三边长为4a、a、a．

∵AH2＝AD2＋AF2    ∴新三角形为直角三角形．………………………8分

（或通过转换得新三角形三边就是AD、DI、AI）

（4）将△BOC'沿BB'方向平移2个单位，所移成的三角形记为△B'PR，将△COA'沿A'A方向平移2个单位，所移成的三角形记为△AQR．由于OQ＝OA＋AQ＝OA＋OA'＝AA'＝4，OP＝OB'＋B'P＝OB'＋OB＝BB'＝4．又∠QOP＝60°，则PQ＝OQ＝OP＝4，

又因为QR＋PR＝OC＋OC'，故O、R、P三点共线．因为S△QOP＝4，所以S△AOB'＋S△BOC'＋S△COA'＝S△AOB'＋S△B'PR＋S△PQA＜…………………… …………10分

根据旋转的性质和平移变换的性质求解