Question

两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起,其中∠A=60°,AC=1.固定△ABC不动,将△DEF进行如下操作：

(1)如图1,△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动) ,连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化,但它的面积不变化,四边形CDBF面积为 _______；

(2)如图2,当D点移到AB的中点时,请你猜想四边形CDBF的形状,并说明理由．

(3)如图3,△DEF的D点固定在AB的中点,然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF,使DF落在AB边上,此时F点恰好与B点重合,连结AE,请你求出sin∠AED的值． 

Answer

(1) (2)菱形（3）

【解析】【解析】
（1）             ………………………2分

(2)菱形               ………………………3分

∵CD∥BF，FC∥BD，

 ∴四边形CDBF是平行四边形   ……………………… 4分

∵DF∥AC,∠ACB=90O,

 ∴CB⊥DF               ……………………………  5分

∴四边形CDBF是菱形     …………………………… 6分

（判断四边形CDBF是平行四边形，并证明正确，记2分）

（3）解法一：过D点作DH⊥AE于H,

 则S△ADE=       …………………………… 7分

又S△ADE=  ……………………9分

∴在Rt△DHE中，sin∠AED=       ……………………10分

解法二：∵△ADH∽△ABE                  …………………… 7分

∴    即：    ………………… 8分

∴              ……………………………… 9分

∴sin∠AED=     ……………………………… 10分

（1）根据平移的性质，可得AD=BE，CF∥BD．所以三角形ACD的面积等于三角形BEF的面积，则梯形的面积就等于直角三角形ABC的面积；

（2）根据直角三角形一边上的中线等于斜边的一半，以及平移的性质可以证明该四边形的四条边相等，则该四边形是菱形．

（3）根据三角函数的概念解答