Question

四边形ABCD是平行四边形，AB=3，AD= 5，高DE=2．建立如图所示的平面直角坐标系，其中点A与坐标原点O重合．

1.求BC边所在直线的解析式；

2.设点F为直线BC与y轴的交点，求经过点B，D，F的抛物线解析式；

3.判断▱ABCD的对角线的交点G是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．

Answer

1.过点C作CH⊥x轴于H，

在Rt△BCH中，BC=AD= 5 ，CH=DE=2，

∴BH=，

又∵AB=3，

∴AH=AB+BH=4．

∴B（3，0），C（4，2）．

设BC所在直线的解析式为y=kx+b，

将B（3，0），C（4，2）代入得

0=3k+b

2=4k+b   ，

解得k=2，b=-6，

∴BC边所在直线的解析式为y=2x-6；

2.在Rt△ADE中，AE=1，

∴D（1，2），

设点F（0，b），代入y=2x-6，得b=-6，

∴F（0，-6）．

设经过点B，D，F的抛物线为y=ax2+bx+c，

由题意，得

解得a=-3，b=11，c=-6．

∴抛物线的解析式为y=-3x2+11x-6；

3.▱ABCD对角线的交点G不在（2）中的抛物线上．

连接AC、BD相交于G，过G作GM⊥x轴于M，则GM∥CH∥DE．

∵AG=GC，

∴AM=MH= AH=2，GM= CH=1，

∴点G（2，1）．

把x=2，代入y=-3x2+11x-6，得y=4≠1，

∴点G（2，1）不满足y=-3x2+11x-6，

即（2）中的抛物线不经过□ABCD的对角线的交点．

【解析】

1.根据题意不难得出B点的坐标，因此本题的关键是求出C点的坐标，可过C作CH⊥x轴于H，可在直角三角形CBH中，根据CH和BC的长求出BH的长，也就求出了OH的长，由此可得出C点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线BC的解析式；

2.仿照（1）求C点坐标的方法不难得出D点的坐标，而F点的坐标可用直线BC的解析式求得，由此可用待定系数法求出抛物线的解析式；

3.过G作x轴的垂线GM，根据平行四边形的对角线互相平分，不难得出GM是△ACH的中位线，因此G点的横坐标是C点横坐标的一半，纵坐标是C点纵坐标的一半，然后将G点的坐标代入抛物线中，即可判断出G点是否在抛物线上．