Question

问题背景:

如图1，矩形铁片ABCD的长为2a，宽为a； 为了要让铁片能穿过直径为的圆孔，需对铁片进行处理（规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔）；

探究发现:

1.如图2，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，若将矩形铁片的四个角去掉，只余下四边形MNPQ，则此时铁片的形状是 _______，给出证明，并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔；

拓展迁移:

2.如图3，过矩形铁片ABCD的中心作一条直线分别交边BC、AD于点E、F（不与端点重合），沿着这条直线将矩形  铁片切割成两个全等的直角梯形铁片；

①当BE=DF=时，判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔，并说明理由；

②为了能使直角梯形铁片EBAF顺利穿过圆孔，请直接写出线段BE的长度的取值范围 ．

Answer

1.是菱形

如图，过点M作MG⊥NP于点G，∵M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、

CD的中点，∴△AMN≌△BPN≌△CPQ≌△DMQ，∴MN=NP=PQ=QM，

∴四边形MNPQ是菱形，，MN=，∴MG=，∴此时铁片能穿过圆。

2.①如图，过点A作AH⊥EF于点H，过点E作EK⊥AD于点K

显然AB=， 故沿着与AB垂直的方向无法穿过圆孔

过点A作EF的平行线RS，故只需计算直线RS与EF之间的距离即可

∵BE=AK=，EK=AB=a，AF=

∴KF=，EF=,∵∠AHF=∠EKF=90°，∠AFH=∠EFK

∴△AHF∽△EKF     ∴，可得AH=, 

∴该直角梯形铁片不能穿过圆孔

②或.…

【解析】

1.利用四条边相等的四边形为矩形来判定四边形为菱形，然后利用面积相等来求得菱形一边的高，与已知数据比较后判断是否能通过．

2.利用两三角形相似得到比例线段，进而求出点A到EF的距离，然后与已知线段比较，从而判定能否通过．