Question

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60º．

1.求⊙O的直径；

2.若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；

3.若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为，连结EF，当为何值时，△BEF为直角三角形．

Answer

1.∵AB是⊙O的直径  ∴∠ACB＝90º∵∠ABC＝60º

∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º∴AB＝2BC＝4cm  即⊙O的直径为4cm．

2.如图1，CD切⊙O于点C，连结OC，则OC＝OB＝1/2·AB＝2cm．

∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径）∴∠OCD＝90º∵∠BAC＝ 30º

    ∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º   ∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º  ∴OD＝2OC＝4cm

∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm）  ∴当BD长为2cm，CD与⊙O相切．      

3.根据题意得：AE＝2tcm；BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；

如图2，当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC ∴BE：BA＝BF：BC

即：（4－2t）：4＝t：2   解得：t＝1

如图3，当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA ∴BE：BC＝BF：BA

即：（4－2t）：2＝t：4   解得：t＝1.6    ∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．

【解析】直径所对的圆周角为90°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以求得直径的长；由切线定理可以求得当BD长为2cm，CD与⊙O相切；第（3）涉及到三角形相似，求得t的值。