Question

定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.

1.如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段         .

2.在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由. 友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．

3.如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由. 若此时AB＝3，BD＝，求BC的长.

                                      

Answer

1.AC；

2.作图如图；

∵点P为AC中点，∴PA＝PC＝AC.

∵∠ABC=∠ADC=90°，∴BP＝DP＝AC，∴PA＝PB＝PC＝PD，

∴点A、B、C、D在以P为圆心，AC为半径的同一个圆上.  

3.∵菱形ACEF，∴∠ADC＝90°AE＝2AD，EC＝2CD，∴四边形ABCD为损矩形，

∴由⑵可知，点A、B、C、D在同一个圆上.

∵ AM平分∠BAD，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴AD＝CD，

∴四边形ACEF为正方形.

∵点BD平分∠ABC，BD＝，∴点D到AB、BC的距离h为4，

∴＝6. ，

，，

∵，∴＋＝6＋2BC，

∴BC＝5或BC＝－3(舍去)，∴BC＝5.

【解析】当菱形的一个角为直角时就成为正方形，根据面积之间的关系可以求得BC＝5.