Question

两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=2．

固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

1.如图（1），△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，它的面积是否变化，如果不变请求出    其面积．如果变化，说明理由．

2.如图（2），当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由

3.如图（3），△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，

使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连结AE，请你求出的值．

  

Answer

1. 因为ABC是直角三角形，角A=60度，AC=1，所以AB=2，BC=√3

因为两三角形全等，所以AC=DF,同时角A等于角FDB，所以AC//DF，所以ADFC是平行四边形，所以AD=CF

因为ADFC是平行四边形，所以CF//AD（AB），所以CDBF是梯形，

所以CDBF面积为（CF+DB)高

因为CF+DB=AD+DB=AB，

因为CF//AD，所以三角形ABC和四边形CDBF等高

所以四边形CDBF的面积等于三角形ABC的面积

三角形ABC的面积等于(ACBC)=      所以CDBF面积=

2.当D移动到AB中点时

由上一问可知：CF=AD=DB=1       CD//BD

所以此时CDBF是平行四边形

在三角形ADC中，角A=60度，AC=1，AD=AB/2=1

所以三角形ADC是等边三角形，所以CD=1

平行四边形CDBF中，邻边CF=CD          所以CDBF是菱形

3.过点D作DF⊥AE于F,△ADF∽△AEB

求出AE=,DF=         Sin∠DEA= ．

【解析】熟悉平移的性质和直角三角形的性质．注意：两条平行线间的距离处处相等．