Question

如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥轴于点C，A，B．动点P从O点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点移动的时间为秒，△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．

1.求经过O、A、B三点的抛物线解析式；

2.求S与t的函数关系式；

3.将△OPQ绕着点逆时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点为O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

1. 法一：由图象可知：抛物线经过原点，

设抛物线解析式为．

把A（1，-1），B（3，-1）代入上式得：

  解得：

∴所求抛物线解析式为

法二：∵A（1，-1），B（3，-1），

∴抛物线的对称轴是直线．

设抛物线解析式为（）

把O，A（1，-1）代入得

    解得

∴所求抛物线解析式为

2.分四种情况：

①当，重叠部分的面积是，过点作轴于点，

∵A（1，-1），在中，，，

在中，，，                              

∴，       ∴

．

②当，设交于点，作轴于点，

，则四边形是等腰梯形，

重叠部分的面积是．

∴，

∴．

③当，设与交于点，交于点，

重叠部分的面积是．

因为和都是等腰直角三角形，

所以重叠部分的面积是．

∵B（3，-1），，

∴，

∴，

∴

4当时，重叠部分的面积就是梯形OABC的面积= 

3.存在     ，

【解析】本题是二次函数的一道综合题，（1）（2）求点的坐标和函数解析式，是常见题型，（3）需要综合考虑，有一定难度。