Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC＝CD，BE⊥CD，垂足为E，点F在BD上，连接AF、EF．

1.求证：DA＝DE；

2.如果AF∥CD，求证：四边形ADEF是菱形．

Answer

1.见解析。

2.见解析。

【解析】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB．

又∵BC=CD，∴∠DBC=∠BDC． 

∴∠ADB=∠BDC．

又∵∠ADB=∠BDC,BA⊥AD，BE⊥CD，∴BA=BE．

在RT△ABD和RT△EB中， BD=BD， AB=BE．

∴△ABD≌△EBD．

∴AD=ED． (2) ∵AF∥CD，∴∠BDC=∠AFD．

又∵∠ADB=∠BDC，∴∠AFD=∠ADB． ∴AD=AF．

又∵AD=DE，∴AF= DE且AF∥CD．∴四边形ADEF为平行四边形．

∵AD=DE ，∴四边形ADEF为菱形.