Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，过点A作直线MN⊥AC，点P是直线MN上的一个动点(与点A不重合)，连结CP交AB于点D，设AP=，AD=．

1.如图1，若点P在射线AM上，求y与x的函数解析式；

2.射线AM上是否存在一点P，使以点D、A、P组成的三角形与△ABC相似，若存在，求AP的长，若不存在，说明理由；

3.如图2，过点B作BE⊥MN，垂足为E，以C为圆心、AC为半径的⊙C与以P为圆心PD为半径的动⊙P相切，求⊙P的半径

Answer

1.

2.当AP的长为4.5时，△ABC∽△PAD

3.⊙E的半径为16或.

【解析】（1）∵AM⊥AC，∠ACB=90°∴AM∥BC  ∴

∵AC=6，BC=8，  ∴AB=10   ∵AP=，AD=     ∴  

∴

（2）假设射线AM上存在一点P，使以点D、A、P组成的三角形与△ABC相似

∵AM∥BC      ∴∠B=∠BAE

∵∠ACB=90°   ∠APD≠90°

∴△ABC∽△PAD

∴∴    解得：4.5

∴当AP的长为4.5时，△ABC∽△PAD

（3）∵⊙C与⊙P相切，AP=

①当点P在线段AD上，⊙C与⊙P外切时，PE=， PC=

在直角三角形PAC中，    

∴    解得：    ∴⊙P的半径为.

②点P在射线MA上，当⊙C与⊙P内切时，PE=， EC=

在直角三角形PAC中，     

∴    解得：（舍去）∴⊙P的半径为16.

③点P在射线AD上，当⊙C与⊙P外切时，PE=， PC=

在直角三角形PAC中，    

∴    解得： (舍去)

当⊙C与⊙P内切时，PE=， PC=

在直角三角形PAC中，    

∴    解得：(舍去)  

∴当⊙C与⊙P相切时，⊙E的半径为16或.