Question

已知：如图，DABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

1.求证：∠DAC ＝∠DBA；

2.求证：是线段AF的中点

3.若⊙O 的半径为5，AF ＝ ，求tan∠ABF的值．

Answer

1.∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA  

∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD 

∴∠DAC ＝∠DBA         (2分)

2.∵AB为直径，∴∠ADB＝90° 

又∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝90°  ∴∠ADE +∠EDB＝∠ABD +∠EDB＝90°

∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP 

∴PD＝PA    

又∵∠DFA +∠DAC＝∠ADE +∠PD F＝90°且∠ADE＝∠DAC

∴∠PDF＝∠PFD                    

∴PD＝PF   ∴PA＝ PF  即P是线段AF的中点   （3分）

3.∵∠DAF ＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°∴△FDA ∽△ADB

∴    

∴在Rt△ABD 中，tan∠ABD＝，即tan∠ABF＝  （3分）

【解析】（1）根据圆周角定理得出∠DAC=∠CBD，以及∠CBD=∠DBA得出答案即可；

（2）首先得出∠ADB=90，再根据∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°得出∠PDF=∠PFD，从而得出PA=PF；

（3）利用相似三角形的判定得出△FDA∽△ADB即可得出答案．