Question

如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4，点F在DC

上，DF＝2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位／秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：

1.DM=___▲____,  AN=___▲____（用含x的代数式表示）

2.说明△FMN ∽ △QWP；

3.试问为何值时，△PQW为直角三角形？

4.问当为____▲_____时，线段MN最短？

Answer

1.          ( 2分)

2.∵P、Q、W分别为△FMN三边的中点

∴PQ∥FN，PW∥MN

∴∠MNF＝∠PQM＝∠QPW

同理：∠NFM＝∠PQW

∴△FMN ∽ △QWP    (2分)

3.由⑴得△FMN ∽ △QWP，所以△FMN为直角三角形时，△QWP也为直角三角形．如图，过点N作NECD于E，根据题意，得DM＝BM＝，∴AM＝4－，AN＝DE＝6－

∵DF＝2，∴EF＝4－

∴MF2＝22＋x2＝x2＋4，MN2＝（4－x）2＋（6－x）2＝2x2－20x＋52，

NF2＝（4－x）2＋42＝x2－8x＋32,

①  如果∠MNF＝90°，

有2x2－20x＋52＋x2－8x＋32＝x2＋4，

解得x1＝4，x2＝10（舍去）；

②如果∠NMF＝90°，

有2x2－20x＋52＋x2＋4＝x2－8x＋32，

化简，得：x2－6x＋12＝0，△＝－12＜0，  方程无实数根；

③如果∠MFN＝90°，

有2x2－20x＋52＝x2＋4＋x2－8x＋32，

解得x＝．

∴当为4或时，△PQW为直角三角形   (3分)

4.当＝5时，线段MN最短．(2分)

【解析】（1）利用图示求得；

（2）由平行线的性质可得∠QPW=∠MNF，∠PQW=NFM，故有△FMN∽△QWP；

（3）当△FMN是直角三角形时，△QWP也为直角三角形，当MF⊥FN时，证得△DFM∽△GFN，有DF：FG=DM：GN，得到4-x=2x，求得x此时的值，当MG⊥FN时，点M与点A重合，点N与点G重合，此时x=AD=4；

（4）当点F、M、N在同一直线上时，MN最短，设经过的时间为x，AM的长度为（4-x），AN的长度为（6-x），再由△MAN∽△MBF即可求出答案．