Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．

1.求BC的长

2.当MN∥AB时，求t的值

3.试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

Answer

1.如图①，过A、D分别作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形．

∴KH=AD=3．

在Rt△ABK中，AK=AB•sin45°=4•=4BK=AB•cos45°=4=4．

在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC==3．

∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．（2分）

2.如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．

∵MN∥AB，

∴MN∥DG．

∴BG=AD=3．

∴GC=10﹣3=7．

由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10﹣2t．

∵DG∥MN，

∴∠NMC=∠DGC．

又∠C=∠C，

∴△MNC∽△GDC．

∴，

即．

解得，．（3分）

3.分三种情况讨论：

①当NC=MC时，如图③，即t=10﹣2t，

∴．

②当MN=NC时，如图④，过N作NE⊥MC于E．

由等腰三角形三线合一性质得

EC=MC=（10﹣2t）=5﹣t．

在Rt△CEN中，cosC==，

又在Rt△DHC中，cosC=，

∴．

解得t=．

③当MN=MC时，如图⑤，过M作MF⊥CN于F点．FC=NC=t．

（方法同②），

解得．

综上所述，当t=、t=或t=时，△MNC为等腰三角形．（3分）

【解析】（1）作梯形的两条高，根据直角三角形的性质和矩形的性质求解；

（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；

（3）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．