Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点(-1,0)、(3,0)，与轴的正半轴交于点，顶点为.

1.求抛物线解析式及顶点的坐标；

2.如图，过点E作BC平行线，交轴于点F，在不添加线和字母情况下，图中面积相等的三角形有：              ．

3.将抛物线向下平移，与轴交于点M、N，与轴的正半轴交于点P，顶点为Q.在四边形MNQP中满足S_△NPQ = S_△MNP，求此时直线PN的解析式

Answer

1.将(-1,0)、(3,0)代入的得到，，

∴抛物线的解析式为，即.

∴ 抛物线顶点的坐标为（1，4）．-------------------------3分

2.△BCF与△BCE               -------------------------1分

3.将抛物线向下平移，则顶点Q在对称轴上，有，------1分

∴ 抛物线的解析式为（）．

∴ 此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．

∵ 方程的两个根为，，

∴ 此时，抛物线与轴的交点为，．

如图，过点Q作QG∥PN与轴交于点G，连接NG，则S△PNG= S△PNQ．

∵ S△NPQ = S△MNP,

∴S△MNP = S△PNG．               -------------------------1分

∴ ．

设对称轴与轴交于点，

则．

由QG∥PN，得．

∴ Rt△QDG ∽ Rt△PON．有．

∴ ．结合题意，解得 ．

∴ 点，．

设直线PN的解析式为y=mx+n，将P， N两点代入，得到

直线PN的解析式为 ； --------3分

【解析】（1）把A、B两点的坐标代入到抛物线方程中，求出它的解析式；

（2）   利用同底等高的两个三角形面积相等这个性质；

过Q点作QG∥PN与X轴交于点G，连接NG,利用等量代换推出S△MNP = S△PNG．得出DG的长，利用Rt△QDG ∽ Rt△PON求出P、N两点的坐标，根据两点式求出直线PN的解析式。