Question

在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点.例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点.

1.判断点M（1，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；

2.若和谐点P（a，3）在直线y＝－x＋b（b为常数）上，求点a、b的值.

Answer

1.过M作x、y轴的垂线，设与正标轴围成矩形为MAOB

则CMAOB＝（1＋2）×2＝6 SMAOB＝2×1＝2

∴

M不为和谐点……. ……………………………………………………………………..（2分）

同理：CNAOB＝（4＋4）×2=16  SNAOB＝4×4＝16

∴N为和谐点；……………………………………………………………………（4分）

2.∵（a，3）为和谐点

∴（a＋3）×2＝3a

2a＋6＝3a

a＝6

把P（6，3）代入

y＝－x＋b中

－6＋b＝3 ∴b＝9

∴a的值为6

b的值为9 ……………………………………………………………………（8分）

【解析】（1）理解满足和谐点的条件，分别计算围成图形的周长和面积，即可知某个点是否为和谐点；（2）把点的坐标代入解析式，可求得待定的数据。