Question

如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．

1.若AC=8，AB=12，求⊙O的半径；

2.连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由

Answer

1.设⊙O的半径为r.

        ∵BC切⊙O于点D  ∴OD⊥BC

        ∵∠C=90° ∴OD∥AC ∴△OBD∽△ABC.   …………………………2分

∴ = ，即   解得： 

∴⊙O的半径为………………………4分

2.四边形OFDE是菱形      ………………5分

        ∵四边形BDEF是平行四边形 ∴∠DEF=∠B.

∵∠DEF=∠DOB ∴∠B=∠DOB.

∵∠ODB=90° ∴∠DOB+∠B=90° ∴∠DOB=60°

∵DE∥AB，∴∠ODE=60°.∵OD=OE，∴△ODE是等边三角形

∴OD=DE ∵OD=OF ∴DE=OF ∴四边形OFDE是平行四边形  ………7分

∵OE=OF ∴平行四边形OFDE是菱形.  …………………………………8分

【解析】（1）连接OD，设⊙O的半径为r，可证出△BOD∽△BAC，则，从而求得r；（2）由四边形BDEF是平行四边形，得∠DEF=∠B，再由圆周角定理可得，∠B= ∠DOB，则△ODE是等边三角形，先得出四边形OFDE是平行四边形．再根据OE=OF，则平行四边形OFDE是菱形．