Question

已知：如图（1），△OAB是边长为2的等边三角形，0A在x轴上，点B在第一象限内；△OCA是一个等腰三角形，OC＝AC，顶点C在第四象限，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.

1.求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；

2.在OA上（点O、A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；

3.如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

Answer

1.过点作于点．（如图①）

∵，，∴．

      ∵，， ∴．

   在Rt中， 

当时，,,；

过点作于点．（如图①）

     在Rt中，∵，∴，

∴．

     即 ．………………………………………2分

2.当时，（如图②）

，．

∵，，∴．

∴．

即．

故当时，，当时，……………4分

或         …………………6分

3.的周长不发生变化．

延长至点，使，连结．（如图③）

∵，∴≌．

∴，  …………………7分

       ∴．

        ∴． 又∵．

   ∴≌．∴   ……………………………………9分

∴．

∴的周长不变，其周长为4   ……………………………………10分

【解析】（1）由于点Q从点O运动到点C需要 秒，点P从点A→O→B需要 秒，所以分两种情况讨论：①0＜t＜ ；② ≤t＜．针对每一种情况，根据P点所在的位置，由三角形的面积公式得出△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并且得出自变量t的取值范围

（2）如果△OCD为等腰三角形，那么分D在OA边或者OB边上两种情形．每一种情形，都有可能O为顶点，C为顶点，D为顶点，分别讨论，得出结果；

（3）如果延长BA至点F，使AF=OM，连接CF，则由SAS可证△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS证出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，那么△BMN的周长=BA+BO=4．