Question

如图15，在Rt△ABC中，，CP平分∠ACB，CP与AB交于点D，且 PA=PB．

1.请你过点P分别向AC、BC作垂线，垂足分别为点E、F，并判断四边形PECF的形状

2.求证：△PAB为等腰直角三角形

3.设，，试用、的代数式表示的周长；

4.试探索当边AC、BC的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，请直接写出这个不变的值，若变化，试说明理由

Answer

1.过点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足分别为E、F（如图4）     …………1分

∵∠ACB=90°又由作图可知PE⊥AC、PF⊥CB，∴四边形PECF是矩形，

又∵点P在∠ACB的角平分线上，且PE⊥AC、PF⊥CB，∴PE=PF，

∴四边形PECF是正方形．                                 …………2分

2.证明：在Rt△AEP和Rt△BFP中，

∵PE=PF，PA=PB，∠AEP=∠BFP= 90°，

∴Rt△AEP≌Rt△BFP．

∴∠APE=∠BPF．

∵∠EPF= 90°，从而∠APB= 90°．

又因为PA=PB，

∴△PAB是等腰直角三角形．                …………5分

3.如图4，在Rt△PAB中，∠APB=90°，PA=PB，PA=m，

∴AB=PA= ．                                        …………6分

     由（2）中的证明过程可知，Rt△AEP≌Rt△BFP，可得AE=BF，CE=CF，

∴ CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，又PC=n，

所以，在正方形PECF中，CE=PC=n．

∴ CA+CB=2CE=．

所以△ABC的周长为：AB+BC+CA=+

4.不变， ．                                   …………9分

【参考证明：如图4，∵∠1=∠2=∠3=∠4=45°，且∠ADC=∠PDB，

∴△ADC∽△PDB，故，即 ， ……①

同理可得，△CDB∽△ADP，得到  ，    ……②

又PA=PB，则①+②得：===．

所以，这个值仍不变为．】

【解析】（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；

       （2）利用三角形全等证得等腰直角三角形