Question

【问题】如图17-1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度数．

分析根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图17-2），然后连结PP′．

解决问题请你通过计算求出图17-2中∠BPC的度数；

类比研究 如图17-3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2.

（1）∠BPC的度数为        ； （2）直接写出正六边形ABCDEF的边长为          ．

Answer

【解析】
【解决问题】

根据【分析】中的思路，得到如图6所示的图形，

根据旋转的性质可得PB=P′B, PC=P′A,

又因为BC=AB, ∴△PBC≌△P′BA，

∴∠PBC=∠P′BA ，∠BPC=∠BP′A , PB= P′B=，

∴∠P′BP=90°，所以△P′BP为等腰直角三角形，

则有P′P=2，∠BP′P=45°．                            ……………………2分

又因为PC=P′A=1，P′P =2，PA=，

满足P′A2+ P′P2= PA2，由勾股定理的逆定理可知∠AP′P=90°，   ……………4分

因此∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°．                   ……………………6分

【类比研究】（1）120°；                              ……………………8分

（2）．                             ……………………10分

参考提示：

（1）仿照【分析】中的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，然后连结PP′．如图7所示，根据旋转的性质可得：△PBC≌△P′BA，

△BPP′为等腰三角形，PB= P′B=4，PC=P′A=2，∠BPC=∠BP′A，

∵∠ABC=120°，∴∠PBP′=120°，∠BP′P=30°，

∴求得PP′=，

在△APP′中，∵PA=，PP′=，P′A=2，

满足P′A2+ P′P2= PA2，所以∠AP′P=90°．

∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°．

（2）延长A P′ 做BG⊥AP′于点G，如图8所示，

在Rt△P′BG中，P′B=4，∠BP′G=60°，

所以P′G=2，BG=，则AG= P′G +P′A =2+2=4，

故在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB=．  

【解析】将△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，然后连结PP′．如图7所示，根据旋转的性质可得：△PBC≌△P′BA，后根据勾股定理得出∠AP′P=90°，从而得出∠BPC=120°；延长A P′ 做BG⊥AP′，构建直角三角形，也是由勾股定理得出AB=。