Question

如图18-1所示，已知二次函数与x轴分别交于点A（2，0）、

B（4，0），与y轴交于点C（0，-8t）（t＞0）

1.求a、c的值及抛物线顶点D的坐标（用含t的代数式表示）；

2.如图18-1，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数t的值；

3.如图18-2，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，－4）、（4，－3），边HG位于边EF的右侧．若点P是边EF或边FG上的任意一点（不与E、F、G重合），请你说明以PA、PB、PC、PD的长度为边长不能构成平行四边形；

4.将（3）中的正方形EFGH水平移动，若点P是正方形边FG或EH上任意一点，在水平移动过程中，是否存在点P，使以PA、PB、PC、PD的长度为边长构成平行四边形，其中PA、PB为对边．若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

1.把点A、C的坐标（2，0）、（0，－8t）代人抛物线y=ax2－6ax+c得，

，解得  ，                  ……………………2分

该抛物线为y=x2+6tx－8t=（x－3）2 + t．

∴顶点D坐标为（3，t）                               ……………………3分

2.如图9，设抛物线对称轴与x轴交点为M，则AM＝1．

由题意得：O′A=OA=2．

∴O′A=2AM，∴∠O′AM＝60°．

∴∠O′AC＝∠OAC＝60°                         

∴在Rt△OAC中：

∴OC=，

即．∴．        …………………6分

3.①如图10所示，设点P是边EF上的任意一点

（不与点E、F重合），连接PM．

∵点E（4，－4）、F（4，－3）与点B（4，0）在一直线上，

点C在y轴上，

∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB．

又PD>PM>PB，PA>PM>PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．

∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．        …………………8分

②设P是边FG上的任意一点(不与点F、G重合)，

∵点F的坐标是（4，－3），点G的坐标是（5，－3）．

∴FB＝3，，∴3≤PB≤．

∵PC >4，∴PC >PB．

∴PB≠PA，PB≠PC．

∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．        …………………9分

4.t=或或1．                               …………………12分

【解析】

因为已知PA、PB为平行四边形对边，∴必有PA＝PB．

①假设点P为FG与对称轴交点时，存在一个正数t，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．

如图11所示，只有当PC＝PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．

∵点C的坐标是（0，－8t），点D的坐标是（3， t），

又点P的坐标是（3，－3），

∴PC2＝32＋(－3+8t)2，PD2＝(3＋t)2．

当PC＝PD时，有PC2 =PD2

即 32＋(－3+8t)2=(3＋t)2．

整理得7t2－6t＋1＝0，

∴解方程得t=>0满足题意．

②假设当点P为EH与对称轴交点时，存在一个正数t，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．

如图12所示，只有当PC＝PD时，线段PA、PB、PC、PD

能构成一个平行四边形．

∵点C的坐标是（0，－8t），点D的坐标是（3， t），

点P的坐标是（3，－4），

∴PC2＝32＋(－4+8t)2，PD2＝(4＋t)2．

当PC＝PD时，有PC2 =PD2

即 32＋(－4+8t)2=(4＋t)2

整理得7t2－8t＋1＝0，

∴解方程得t =或1均大于>0满足题意．

综上所述，满足题意的t=或或1．