Question

如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OMN的斜边ON在x轴上，顶点M的坐标为(3，3)，MH为斜边上的高．过N点垂直于x轴的直线与抛物线 y= - 4x点D．直线OD的解析式为，点P(x，o)是x轴上一动点，过点P作y轴的平行线，交射线OM与点E．

1.直接写出点D的坐标及n的值

2.判断抛物线的顶点是否在直线OM上？并说明理由

3.设以M、E、H、N为顶点的四边形的面积为S．当x≠3[时，求S与x的函数关系式．

Answer

1.D(6,3),n=2.      ………………4分

2.设直线OM的解析式为y=kx, k≠0.

∵M(3,3)在直线OM上，

    ∴k=1.

即直线OM的解析式为：y=x.

∵的顶点坐标为（4,4），

   ∴抛物线的顶点在直线OM上．  …………………7分

3.∵点E在OM上，

      PE⊥x轴，

∴EP=x

∴当时，S==.

当时，  …………11分

【解析】（1）根据勾股定理和M的坐标即可求出D的坐标和n的值；

（2）设直线OM的解析式为y=kx，k≠0，根据M（3，3）在直线OM上，得到y=x．求出y=- x2+2x的顶点坐标代入即可；

（3）已知了M点的坐标，即可求出OH、MH的长，由于△OHM是等腰直角三角形，即可确定ON的长；欲求四边形MNHE的面积，需要分成两种情况考虑：

①0＜m＜3时，②6＞m＞3时，③m＞6时，根据上述3种情况阴影部分的面积计算方法，可求出不同的自变量取值范围内，S、m的函数关系式；

（4）根据等腰直角三角形和等腰三角形的性质，即可求出m的范围．